Kvadratická rovnice

Ve svých hodinách matematiky na gymnáziu vyžaduji po všech studentech znalost vzorce pro řešení kvadratické rovnice pomocí tzv. diskriminantu. Většina studentů (až na čestné výjimky, které raději nebudu jmenovat) pochopila, že bez znalosti tohoto vzorce se ve středoškolské matematice skutečně neobejde, málokdo z nich však tuší, kde se tento vzorec vlastně vzal. Chápu, že je pohodlnější svému milovanému učiteli věřit, ale matematika je založená hlavně na přemýšlení a kritickém myšlení. Proto si dnes slavný vzorec odvodíme, není to totiž vůbec složité.

Kvadratická rovnice (nebo také rovnice druhého stupně) je každá rovnice ve tvaru

kde konstanty a, b, c jsou libovolná reálná čísla (pouze konstanta a nesmí být nulová, protože by se nejednalo o kvadratickou, nýbrž o lineární rovnici).

Naši rovnici nejprve vydělíme konstantou a, což můžeme s klidem učinit, neboť jsme si před chvíli řekli, že je nenulová. Získáme tak rovnici ve tvaru

kterou dále upravíme pomocí matematického postupu známého jako doplnění na čtverec (nebo také doplnění na druhou mocninu dvojčlenu). Tento postup vyžaduje pouze znalost známého vzorce ze základní školy ve tvaru

Budeme se snažit tento vzorec aplikovat na naši rovnici, ale nejdříve si ji trochu upravíme tak, aby se nezměnila:

Všimněte si, že rovnice je stále stejná, neboť druhý člen jsme vynásobili a zároveň vydělili dvěma, zatímco třetí a čtvrtý člen se navzájem odečtou. Na výše uvedenou rovnici již můžeme aplikovat vzorec pro druhou mocninu dvojčlenu, čímž získáme rovnici

Třetí člen rovnice umocníme na druhou a převedeme jej na společného jmenovatele se čtvrtým členem:

Ti pozornější z Vás si již jistě všimnou, že se v rovnici objevují zárodky vzorce, který se snažíme odvodit.

Pro další krok budeme potřebovat znalost vzorce

abychom rovnici mohli převést na součinový tvar. Abychom však vzorec mohli použít, nepatrně si upravíme druhý člen rovnice (druhá mocnina se s druhou odmocninou navzájem „vyruší“, jmenovatele zlomku můžeme odmocnit):

Aplikujeme-li výše uvedený vzorec, získáme kýžený součinový tvar rovnice, která nyní vypadá takto:

Po menších úpravách získáme rovnici ve tvaru

Uvědomíme-li si prostý fakt, že součin dvou činitelů se rovná nule, když je alespoň jeden z nich nulový, je evidentní, že kvadratická rovnice má nejvýše dvě řešení, která lze zapsat jako

což se často zjednodušeně zapisuje ve tvaru

Výsledný vztah není nic jiného než vzorec, který jsme chtěli odvodit.

Jako poslední se nabízí otázka ohledně počtu řešení kvadratické rovnice. Výraz pod druhou odmocninou

který se označuje jako diskriminant, může být logicky kladný, nulový nebo záporný. Podívejme se na jednotlivé případy podrobněji:

1. V případě, že diskriminant bude kladný, bude mít kvadratická rovnice právě dvě řešení ve tvaru

neboť každé kladné číslo lze odmocnit. Označíme-li diskriminant symbolem D, můžeme řešení rovnice zapsat jednodušeji ve známém tvaru

2. V případě, že bude diskriminant nulový, řešení se zjednoduší do tvaru

a rovnice tedy bude mít právě jedno řešení ve tvaru

3. V posledním případě, který mají studenti nejraději, bude diskriminant záporný, a kvadratická rovnice tedy nebude mít žádné řešení, neboť druhá odmocnina ze záporného reálného čísla není definována.

Z výše uvedeného tedy plyne, že kvadratická rovnice může mít v reálných číslech nejvýše dvě řešení. Jednotlivé případy lze ilustrovat i graficky, neboť počet řešení kvadratické rovnice odpovídá počtu průsečíků příslušné kvadratické funkce s osou x.

Jak je vidět z obrázků, graf kvadratické funkce (tzv. parabola), může osu x protnout ve dvou bodech (dvě řešení), dotknout se jí v jednom bodě (jedno řešení) nebo ji neprotnout vůbec (žádné řešení).

Pokud se laskavý čtenář prokousal dlouhým textem i velkým množstvím vzorců až sem a zároveň vše pochopil, nezbývá mu než gratulovat. Nicméně bych rád upozornil, že výše uvedený závěr, tedy že kvadratická rovnice může mít dvě, jedno nebo žádné řešení, platí pouze v množině reálných čísel. V oboru tzv. komplexních čísel, s jehož základy se někteří studenti seznámí ve čtvrtém ročníku, má každá kvadratická rovnice řešení. Ale to si necháme zase na jindy...

Narozenonový paradox

Každou chvíli slaví někdo z učitelů nebo studentů našeho slavného EDUCAnetu narozeniny. V souvislosti s tím se mi vybavila jedna slavná matematická úloha, někdy označovaná jako tzv. narozeninový paradox.

Zadání je jednoduché:

Představte si, že v autobuse cestuje celkem 50 lidí, kteří se navzájem neznají. Jaká je pravděpodobnost, že libovolní dva cestující budou mít narozeniny ve stejný den? (Pro jednoduchost zanedbáme přestupné roky.)

Doporučuji zkusit pravděpodobnost nejdříve odhadnout a pak teprve začít počítat. Většinou se odhad od výpočtu značně liší. Malá nápověda: Jednodušší je nejdříve spočítat tzv. pravděpodobnost opačného jevu, tedy že se dva lidé nenarodili ve stejný den. Pro výpočet se Vám bude hodit znalost pojmu faktoriál, avšak není nezbytně nutná.

Úlohu můžeme lehce modifikovat pro studenty i učitele našeho ústavu:

Jaká je pravděpodobnost, že:

a) se dva studenti z konkrétní třídy narodili ve stejný den,
b) dva učitelé z našeho pedagogického sboru slaví narozeniniy v tentýž den?

Výsledek úlohy je opravdu překvapivý!