Dnes se seznámíme s rovnicí,
která je podle mnohých matematiků tou vůbec nejkrásnější na světě. Možná Vám
přijde podivné, že v tak přísně logické disciplíně, jakou matematika bezesporu
je, někdo vůbec operuje s pojmem „krása“, ale pokud se zeptáte jakéhokoliv
člověka, který se matematikou zabývá, odpoví Vám, že tomu tak skutečně je –
matematika dokáže být skutečně nádherná.
Onou slavnou rovnicí je tzv.
Eulerova rovnost ve tvaru
Proč právě tato rovnice je
„krásnější“ než ostatní? Obsahuje totiž pět nejznámějších matematických
konstant:
· čísla 0 a
1, asi
nejznámější iracionální číslo π (také známé jako Ludolfovo číslo), které udává
poměr mezi obvodem kruhu a jeho průměrem (všichni si ze školy pamatují jeho
přibližnou hodnotu 3,14), druhé
nejznámější iracionální číslo e (tzv.
Eulerovo číslo), které je základem přirozených logaritmů a jehož přibližná
hodnota je 2,718, a
imaginární
jednotku i, známou z oboru
komplexních čísel, jejíž druhá mocnina je rovna minus jedné.
Pro úplnost dodejme, že Eulerova
rovnost je speciálním případem tzv. Eulerova vzorce, který udává vztah mezi
goniometrickými funkcí a exponenciální funkcí a můžeme jej napsat ve tvaru
Dosadíme-li za proměnnou x číslo
π, získáme postupně rovnice
z nichž po menších úpravách konečně
obdržíme slavnou rovnici
Eulerova rovnice nám tedy vlastně
říká, že obyčejné číslo –1 je možná zapsat pomocí iracionálního čísla
umocněného na součin jiného iracionálního čísla s komplexní jednotkou. Není to
úžasné?
Pro názornost si můžeme Eulerovu
rovnost znázornit i graficky:
Na závěr drobná perlička pro
fanoušky seriálů Simpsonovi: Možná to nevíte, ale v týmu scénáristů tohoto
populárního seriálů je celá řada skvělých matematiků, kteří do seriálů velmi
často vkládají své matematické vtípky. Eulerova rovnost se v Simpsonových
objevila (a to dokonce několikrát), jak dokládá následující obrázek:
