Ve svých hodinách matematiky na
gymnáziu vyžaduji po všech studentech znalost vzorce pro řešení kvadratické
rovnice pomocí tzv. diskriminantu. Většina studentů (až na čestné
výjimky, které raději nebudu jmenovat) pochopila, že bez znalosti tohoto vzorce
se ve středoškolské matematice skutečně neobejde, málokdo z nich však tuší, kde se tento vzorec vlastně
vzal. Chápu, že je pohodlnější svému milovanému učiteli věřit, ale
matematika je založená hlavně na přemýšlení a kritickém myšlení. Proto si dnes
slavný vzorec odvodíme, není to totiž vůbec složité.
Kvadratická rovnice (nebo také
rovnice druhého stupně) je každá rovnice ve tvaru
kde konstanty a, b,
c jsou libovolná reálná čísla (pouze
konstanta a nesmí být nulová, protože
by se nejednalo o kvadratickou, nýbrž o lineární rovnici).
Naši rovnici nejprve vydělíme
konstantou a, což můžeme s klidem učinit,
neboť jsme si před chvíli řekli, že je nenulová. Získáme tak rovnici ve tvaru
kterou dále upravíme pomocí matematického
postupu známého jako doplnění na čtverec
(nebo také doplnění na druhou mocninu dvojčlenu). Tento postup vyžaduje pouze
znalost známého vzorce ze základní školy ve tvaru
Budeme se snažit tento vzorec
aplikovat na naši rovnici, ale nejdříve si ji trochu upravíme tak, aby se
nezměnila:
Všimněte si, že rovnice je stále
stejná, neboť druhý člen jsme vynásobili a zároveň vydělili dvěma, zatímco
třetí a čtvrtý člen se navzájem odečtou. Na výše uvedenou rovnici již můžeme
aplikovat vzorec pro druhou mocninu dvojčlenu, čímž získáme rovnici
Třetí člen rovnice umocníme na
druhou a převedeme jej na společného jmenovatele se čtvrtým členem:
Ti pozornější z Vás si již jistě
všimnou, že se v rovnici objevují zárodky vzorce, který se snažíme odvodit.
Pro další krok budeme potřebovat znalost
vzorce
abychom rovnici mohli převést na
součinový tvar. Abychom však vzorec mohli použít, nepatrně si upravíme druhý člen
rovnice (druhá mocnina se s druhou odmocninou navzájem „vyruší“, jmenovatele
zlomku můžeme odmocnit):
Aplikujeme-li výše uvedený
vzorec, získáme kýžený součinový tvar rovnice, která nyní vypadá takto:
Po menších úpravách získáme
rovnici ve tvaru
Uvědomíme-li si prostý fakt, že
součin dvou činitelů se rovná nule, když je alespoň jeden z nich nulový, je
evidentní, že kvadratická rovnice má nejvýše dvě řešení, která lze zapsat jako
což se často zjednodušeně
zapisuje ve tvaru
Výsledný vztah není nic jiného
než vzorec, který jsme chtěli odvodit.
Jako poslední se nabízí otázka
ohledně počtu řešení kvadratické rovnice. Výraz pod druhou odmocninou
který se označuje jako diskriminant, může být logicky kladný, nulový
nebo záporný. Podívejme se na jednotlivé případy podrobněji:
1. V případě, že diskriminant
bude kladný, bude mít kvadratická rovnice právě dvě řešení ve tvaru
neboť každé kladné číslo lze
odmocnit. Označíme-li diskriminant symbolem D,
můžeme řešení rovnice zapsat jednodušeji ve známém tvaru
2. V případě, že bude diskriminant
nulový, řešení se zjednoduší do tvaru
a rovnice tedy bude mít právě
jedno řešení ve tvaru
3. V posledním případě, který
mají studenti nejraději, bude diskriminant záporný, a kvadratická rovnice tedy
nebude mít žádné řešení, neboť druhá odmocnina ze záporného reálného čísla není
definována.
Z výše uvedeného tedy plyne, že
kvadratická rovnice může mít v reálných číslech nejvýše dvě řešení. Jednotlivé
případy lze ilustrovat i graficky, neboť počet řešení kvadratické rovnice
odpovídá počtu průsečíků příslušné kvadratické funkce s osou x.
Jak je vidět z obrázků, graf
kvadratické funkce (tzv. parabola),
může osu x protnout ve dvou bodech
(dvě řešení), dotknout se jí v jednom bodě (jedno řešení) nebo ji neprotnout
vůbec (žádné řešení).
Pokud se laskavý čtenář prokousal
dlouhým textem i velkým množstvím vzorců až sem a zároveň vše pochopil, nezbývá
mu než gratulovat. Nicméně bych rád upozornil, že výše uvedený závěr, tedy že
kvadratická rovnice může mít dvě, jedno nebo žádné řešení, platí pouze v
množině reálných čísel. V oboru tzv. komplexních čísel, s jehož základy se někteří
studenti seznámí ve čtvrtém ročníku, má každá kvadratická rovnice řešení. Ale
to si necháme zase na jindy...